An die Mathematiker unter den Notsies

[eknori]

Ich habe von meinem Chef die Aufgabe bekommen, eine Statistik zu erstellen.
Dabei sollen alle Tickets berücksichtigt werden, die abgeschlossen wurden.
Der Wert, der in die Statistik einfliessen soll ist die Zeitdifferenz aus Eintreffen des Tickets im Arbeitsvorrat und Abschluss durch den Supporter in Minuten. Das ist kein Problem und der Wert ist im Ticket in einem feld gespeichert.

Aus allen Werten aller abgeschlossenen Tickets soll der Mittelwert berechnet werden.

Auch das ist kein Problem. Habe ich erst einmal in Excel gelöst.

Das "normale" Mittel würde sich ja nach der Formel =MITTELWERT(A2:A9530)
berechnen.

Ich berechne aber das gewichtete Mittel nach folgender Formel

=(SUMMENPRODUKT(C112:C3103;D112:D3103)/SUMME(D112:D3103))
(Spalten und Zeilen kommen aus einer Pivot-tabelle)

Dabei ist mir aufgefallen, daß die beiden Werte bei Betrachtung aller Tickets absolut identisch sind. Betrachtet man aber nur Werte aus einem Monat, so sind leichte Abweichungen zu erkennen.

Ich weiss, daß das irgend etwas mit der Streuung der Werte zu tun hat.

Gibt es einen Beweis, aus dem das hervorgeht?

[eknori]

Scheint wohl nicht so einfach zu lösen zu sein; unsere betriebseigenen diplomierten Mathematiker haben nur ziemlich dumm wie ein Schwein ins Uhrwerk geschaut und sind dann schulterzuckend mit den Worten "Tja, dumm, nee kann ich im Moment nichts zu sagen, vielleicht rechnet Excel ja auch falsch" abgedackelt.

[WernerMo]

Hallo Ulrich,

wenn ich den Artikel bei Wikipedia richtig verstehe:
http://de.wikipedia.org/wiki/Mittelwert
dann ist das gewichtete Mittel nur/eher für Stichproben?

Gruß Werner

[eknori]

Mag sein. Aber Excel kann ja nicht wissen, dass es sich bei den Werten um ALLE Werte handelt und nicht nur um eine Stichprobe.

Bei der Berechnung hauen uns ein paar Langläufer  die Kennzahl durcheinander. Ich hatte gehofft, daß ich das mit dem gewichteten Mittel in den Griff bekomme, ohne die daten mühsam vorzufiltern.
Komischerweise funktioniert das ja auch, wenn ich nur einen einzelnen Monat betrachte.

Edit: zumindest hätte ich von einem Diplom Mathematiker eine gescheite Antwort erwartet.

[blizzard]

hey Glombi vertrete hier mal die Ehre der Diplom-Mathematiker

[koehlerbv]

Glombi sei sein mathematikfreier Urlaub gegönnt. 

Bernhard

[flaite]

Vielleicht der Grund, warum ich in Java so gerne BigDecimal verwende und in RDBMS Decimal?
Also http://en.wikipedia.org/wiki/Floating_point#Representable_numbers.2C_conversion_and_rounding
Datentypen wie Float und Double sind zwangsläufig ungenau. Die Menge der Rationalen Zahlen ist unendlich. Die Menge der Kombinationen an 1 und 0 für einen gegebenen Bereich an Bits dagegen endlich. Du würdest vielleicht konsistentere Ergebnisse erhalten, wenn du alle Ergebnisse von Divisionen früh konsequent rundest.

[LN4ever]

Lieber Ulrich,

Grundsätzlich unterscheiden sich Mittelwert und gewichtetes Mittel durchaus voneinander, allerdings nähern sich beide Werte einander an, wenn
- Wichtungen und gewichtete Werte der gleichen Verteilungsfunktion unterworfen sind UND
- Wichtung und gewichtete Werte voneinander unabhängig sind

Und jetzt auf gut deutsch: wenn hohe Werte immer mit einem besonders hohen oder niedrigen Wichtungsfaktor berücksichtigt werden, ergibt sich eine Differenz beider Mittelwerte.

Aber deine Formel wundert mich sehr:
Beim Mittelwert teilst du die Summe aller Werte durch die Zahl der Ereignisse,
beim normierten Mittelwert der gewichteten Werte teilst du die Summenprodukte durch die Zahl der Ereignisse UND durch den Mittelwert der Wichtungsfaktoren.

Oder habe ich da etwas falsch verstanden ?

Gruß

Norbert

/EDIT: ich hatte doch glatt das "normierten" vergessen.

[LN4ever]

Lieber Ulrich,

in meinem ersten Beitrag hatte ich darauf abgehoben, daß du vielleicht unterschiedliche Tickets mit Wichtungsfaktoren versiehst (Mailing-Probleme kriegen Faktor 1, DB-Probleme Faktor 2, Admin-Probleme Faktor 1,5), aber inzwischen glaube ich, daß du die Mittelwerte jeder Periode (Woche, Monat) mit der Anzahl der Tickets dieser Periode multiplizierst und dann die Summe davon durch die Summe der Anzahlen der Tickets aller Perioden dividierst.

Wenn du dabei die exakten Werte heranziehst, ist das identisch zu dem Mittelwert aller Werte. Das ist auch leicht zu beweisen.

Dieses gewichtete Mittel ist für eine völlig andere Konstellation gedacht: wenn du deine Tickets klassifizierst:
Klasse 1: Bearbeitungszeit 0-30 Minuten (Mittelwert der Klasse=15 Minuten)
Klasse 2: Bearbeitungszeit 30-60 Minuten (Mittelwert der Klasse=45 Minuten)
Klasse 3: Bearbeitungszeit 60-120 Minuten (Mittelwert der Klasse=90 Minuten)
...
Klasse 10: 180-360 Tage

Du ersetzst dann jeden exakten Einzelwert in jeder Klasse durch das Mittel der Klassengrenzen, also in Klasse 1 werden alle Tickets mit 15 Minuten, in Klasse 2 mit 45 Minuten, in Klasse 10 mit 270 Tagen angesetzt.

Das gewichtete Mittel ist dann die Summe der (Häufigkeiten jeder klasse, multipliziert mit dem Mittelwert der jeweiligen Klassengrenzen), geteilt durch die Summe aller Ereignisse. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung sagt dann, daß dieses gewichtete Mittel sich umso genauer dem arithmetischen Mittel aller tatsächlichen Werte nähert, je enger du die Klassengrenzen fasst.

Wenn du 8 Tickets mit Bearbeitungszeiten von 3, 8, 16, 25, 28, 31, 40, 59 Minuten hast, dann unterscheidet sich der Mittelwert (3+8+16+25+28+31+40+59)/8= 25 Minuten nur wenig vom gewichteten Mittel (5*15 +3*45)/(5+3)=26,25 Minuten.
Je enger du die Klassen faßt, umso genauer wird dein Ergebnis. Und wenn du nicht Klassenmittel, sondern exakte Zeiten nimmst, ist es identisch. Und das tust du bestimmt. Da rechnet Excel nicht falsch.

Gruß

Norbert

[flaite]

Insistiere auf meiner Fließkomma-Ungenauigkeits-Erklärung:
http://atnotes.de/index.php?topic=29807.0
Excel verwendet auch Fließkomma und da kommen bei Divisionen schnell automatisch Ungenauigkeiten in die Rechnung.

[LN4ever]

Lieber Axel,

natürlich gibt es Rundungsfehler bei allen Operationen (es ist keinesfalls so, als sei das auf Multiplikation und Division beschränkt, aber nur bei den letztgenannten Operationen gibt es typischerweise Konstellationen, die zu starker Fehlervergrößerung bis hin zur völligen Unbrauchbarkeit eines Ergebnisses führen können), aber gerade bei der Ermittlung arithmetischer Mittelwerte sind die Rundungsfehler der Einzeloperationen äußerst harmlos. Bei der Ermittlung von harmonischen Mittelwerten mit extremen nullnahen Werten gelten ganz andere Fehlerabschätzungen. Da muß man aufpassen.

Dabei würde ich Ulrich durchaus empfehlen, das harmonische Mittel, ggf in der gestutzen Variante (Abschneiden der Ausreißer an beiden Enden der Skala) für die Berechnungen zu verwenden. Es führt zu deutlich aussagekräftigeren Ergebnissen und berücksichtigt die Verbesserungen gerade in den kleinen Bereichen viel stärker als das arithmetische Mittel.

Gruß

Norbert

[eknori]

Norbert,

Danke für deine Ausführungen.

Und wenn du nicht Klassenmittel, sondern exakte Zeiten nimmst, ist es identisch. Und das tust du bestimmt

So sieht es aus.

Ich habe noch ein paar mehr "Stichproben" gezogen. De facto kann ich für meinen Oberindianer (OI ) zur Ermittlung der Kennzahlen den "normalen" Mittelwert nehmen, da die Abweichungen minimal sind.
Das kann ich dann in Notes abbilden. Andere Berechnungen hätten dannerst wieder eine Aufbereitung in Excel erfordert.
Habe die Kennzahl meinem OI gezeigt und machte ein glückliches Gesicht.